Turunan kovarian dua kali dari skalar

Soal
Diberikan suatu skalar $latex \phi$, dan tentukanlah

$latex \nabla_\alpha \nabla_\beta \phi$

Penyelesaian
Dengan mengingat bahwa turunan kovarian membuat sebuah skalar “berubah” menjadi vektor kovarian,

$latex \nabla_\beta \phi = \partial_\beta \phi \equiv X_\beta,$

dan “definisi” turunan kovarian dari suatu vektor kovarian adalah

$latex \nabla_\alpha X_\beta = {\partial_\alpha X_\beta} – \Gamma^\gamma_{\alpha\beta} X_\gamma,$

maka diperoleh

$latex \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle \nabla_\alpha\nabla_\beta\phi &\displaystyle=\nabla_\alpha\left(\nabla_\beta \phi\right) \smallskip\\ \displaystyle &\displaystyle=\nabla_\alpha\left(X_\beta \right) \smallskip\\ \displaystyle & \displaystyle={\partial_\alpha X_\beta} – \Gamma^\gamma_{\alpha\beta} X_\gamma \smallskip\\ \displaystyle & \displaystyle={\partial_\alpha \partial_\beta \phi} – \Gamma^\gamma_{\alpha\beta} \partial_\gamma \phi \end{array}$

Rujukan:
[1] Persamaan (2.158) pada buku Norman K. Glendenning, Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics and General Relativity, 2nd ed., Springer, 1996.

Skalar bergantung waktu, $latex \phi = \phi(t)$
Walaupun skalar $latex \phi$ hanya fungsi dari waktu $latex t$, turunan kovarian dua kali dari fungsi tersebut terhadap koordinat ruang ($latex x^i$) belum tentu bernilai nol,

$latex \nabla_i \nabla_j \phi = \underbrace{\partial_i \partial_j \phi}_{0}- \underbrace{\Gamma^\gamma_{ij} \partial_\gamma \phi}_{\neq 0 \textrm{ untuk } \gamma=0} = – \Gamma^0_{ij} \partial_0 \phi,$

dan akan bergantung pada nilai simbol Christoffel $latex \Gamma^0_{ij}$.

Cukup menarik..!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *